Cada 4 años el planeta celebra el mundial de football. El mundial. La Copa FIFA. Yo tengo pésima memoria, pero recuerdo claro la primera vez que puse atención a un mundial. Fue en Italia'90 aunuqe el anterior había sido precisamente en México'86, lástima que era demasiado joven en aquel entonces porque no me acuerdo de nada... mucho menos de España'82.
Aunque Italia perdió, me volví fan del football, del idioma italiano, de la comida italiana y con ayuda de las tortugas ninja adolescentes mutantes... de la pizza.
Después de Italia vinieron USA'94, en el que Italia volvió a perder en la final contra Brasil y desde entonces odio que ellos ganen. Luego vino Francia'98, en el que los frances debieron haber perdido contra Paraguay pero un poco de suerte los ayudó. Desde mi perspectiva no jugaron muy bien sino hasta la final precisamente contra Brasil. Si algo me gustaba menos que Brasil ganara en el football en aquel entonces es que ganara Francia. Durante la preparatoria tuve que tomar clases de francés e independientemente de que no me gusta el idioma y no era buen alumno, mi maestra era de esas típicas de "Pongan atención, esta situación es lamentable, por eso el país está como está. Los niños en Francia sí ponen atención en clase." Situación que era bastante molesta. Terminamos entre broma y broma odiando todo lo que tuviera que ver con Francia... asún así Francia ganó el mundial.
En Corea-Japón 2002, ya estaba en la universidad y los partidos eran a los 2 o 3 de la mañana... era algo complicado verlos pero aún así los veíamos. Alemania 2006 fue increíble, por fin Italia ganó además gané la quiniela de la oficina donde trabajaba y básicamente me estuvieron pagando por ver partidos del mundial diario. Literalmente los vi todos, tenían SKY en la oficina. Pensé que en mi evaluación me iban a correr porque no había hecho nada, pero lo sorprendente fue que me fue muy bien... después me di cuenta de que mi jefe era un barco, siempre me fue bien en mis evaluaciones.
Suráfrica 2010 fue el mundial que prácticamente vimos en mi depa. En uno de mis ataques de compras compulsivas compré una pantalla de 50 pulgadas, originalmente para jugar Street Fighter IV, pero sirvió para invitar a la banda a ver los partidos. La final fue Holanda vs España, yo le iba a Holanda porque los españoles le habían ganado a los alemanes que habían jugado muy bien todo el torneo salvo contra el partido contra España. España ganó, pero en un partido lamentable. Si yo hubiese sido el presidente de la FIFA en aquel entonces hubiera declarado que los dos perdían y no hay campeón. Además Holanda aplicó la legendaria "this is Sparta!"... una cosa lamentable, como diría Martinoli.
Ahora el mundial será en Brasil 2014. Personalmente veo al equipo mexicano muy mal, la vez pasada era mucho más fuerte pero una clara decisión técnica contra Argentina los sacó del partido. Hay cosas que nadie entiende, esta es una de esas. Pero la verdad es que ahora no sé que decir de los equipos porque normalmente llenar el album de estampitas de Panini me ayudaba a conocer a los jugadores y estudiar cómo estaba jugando cada país. Este año no lo llené, así que voy a tener que adivinar.
Ya lo he mencionado en posts anteriores, pero este semestre que acaba de terminar di clases de procesos estocásticos, así que me vino a la mente la siguiente pregunta: ¿Cuántos sobrecitos hay que comprar para llenar el album del mundial?
Para contestar esta pregunta se me ocurrió plantearlo de la siguiente manera. Supongamos que para llenar el album se necesitan $N$ estampitas. Un sobrecito tiene consigo $n$ estampitas diferentes de esas N. Si decimos que $X_t$ es el número de estampitas distintas que ya conseguimos en nuestro album después de haber comprado $t$ sobrecitos, entonces la secuencia $\{X_t\}_{t\geq 0}$ es una cadena de Markov con epacio de estados $\{0,1,2,\ldots,N\}$, distribución inicial $\mathbb P[X_0=0]=1$ y matriz de transición $P$ con elementos $p_{k,j}$ definidos como:
\[p_{k,j}=\frac{\binom{N-k}{j}\binom{k}{n-j}}{\binom{N}{n}}\]
siempre que $1\leq n\leq N$, $0\leq k \leq N$ y $0\vee (n-k)\leq j \leq n\wedge (N-k)$ o $0$ en cualquier otro caso. Uno de mis alumnos de hecho reconoció esta fórmula como la distribución hipergeométrica. El porqué esta fórmula es la buena es un problema de conteo y combinatoria que no quiero explicar, pero viendo la fórmula e interpretando cada uno de los factores no es difícil convencerse de que en efecto así es.
Con estas definiciones ahora nos fijamos en la variable que nos interesa: el número de sobrecitos que necesitamos para completar la colección. Pero hay veces que en matemáticas resulta más fácil resolver más problemas en lugar de sólo uno. Esta es una de esas ocasiones, así que consideramos todas las variables que son: si ya tenemos $j$ estampitas, el número de sobrecitos que necesitamos para llenar el album son:
\[T_j=\inf\{t\geq 0:X_t=j\}\]
El que nos interesa es $T_N$, si no tenemos estampitas y queremos llenarlo. Esto es un n[umero de sobrecitos aleatorio, pero bueno, podemos preguntarnos, ¿cuál es el número de sobrecitos esperado? De otra forma ¿cuál es el número de sobrecitos promedio que los coleccionistas compran para llenar el album? Definamos estos números así: \[y_k=\mathbb E[T_N|X_0=k]\] y no es compicado darse cuenta de que satisfacen estas propiedades:
$y_N=0$ porque si empezamos de un album lleno, no necesitamos más sobrecitos para llenarlo. Pero si no está lleno, entonces necesitamos al menos un sobrecito más y dependiendo de cuántas estampitas nuevas tengamos necesitamos el número esperado de sobrecitos que se necesitan estando en esa nueva posición.
\[y_k=1+\sum_{j=0}^np_{k,j}y_{k+j}\]
Esto da un sistema de ecuaciones:
\[y_k=\frac{1+\sum_{j=1}^np_{k,j}y_{k+j}}{1-p_{k,k}}\]
Mis métodos análiticos dan hasta aquí sin clavarme mucho. Bueno no, en el caso de que $n=1$, es decir, si nada más viniera una estampita por sobre, se puede probar que
\[\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{y_0}{N\log N}=1\]
Pero no se me ha ocurrido cómo generalizar este resultado cuando $n\geq 2$. En nuestro caso, $N=410$ porque el album tiene 648 estampitas y $n=5$ porque vienen 5 estampitas por sobre.
Los resultados que se me hicieron interesantes son por supuesto, que el número esperado de sobrecitos es de 911 y si sólo te falta una estampita es de 130. Creo que en México el sobrecito cuesta 6 pesos... esas matemáticas ya las pueden hacer ustedes.
Por cierto, para resolver el sistema, usé unos códigos en R, se los dejo en este
link por si tienen mucho tiempo libre.
